Extra's voor studenten
Docentenhandleidingen
Het natuurkundelokaal»Natuurkunde Tutorial»Circulaire beweging en satellietbeweging»Wiskunde van satellietbewegingen
Cirkelvormige beweging en satellietbeweging - Les 4 - Planetaire en satellietbeweging
- De drie wetten van Kepler
- Circulaire bewegingsprincipes voor satellieten
- Wiskunde van satellietbewegingen
- Gewichtloosheid in baan
- Energierelaties voor satellieten
De beweging van objecten wordt beheerst door de wetten van Newton. Dezelfde eenvoudige wetten die de beweging van objecten op aarde beheersen, strekken zich ook uit tot dehemelenom de beweging van planeten, manen en andere satellieten te regelen. De wiskunde die de beweging van een satelliet beschrijft, is dezelfde wiskunde die wordt gepresenteerd voor cirkelvormige beweging inLes 1. In dit deel van les 4 zullen we ons bezighouden met de verscheidenheid aan wiskundige vergelijkingen die de beweging van satellieten beschrijven. Beschouw een satelliet met massa Mzain een baan om een centraal lichaam met massa MCentraal. Het centrale lichaam kan een planeet zijn, de zon of een andere grote massa die voldoende versnelling kan veroorzaken op een minder zwaar object in de buurt. Als de satelliet in cirkelvormige beweging beweegt, dan is denetto centripetale krachtdie inwerkt op deze in een baan om de aarde draaiende satelliet wordt gegeven door de relatie Deze netto middelpuntzoekende kracht is het resultaat van dezwaartekrachtdie de satelliet naar het centrale lichaam trekt en kan worden weergegeven als Sinds Fzwaar= Fnetto, kunnen de bovenstaande uitdrukkingen voor centripetale kracht en zwaartekracht aan elkaar gelijk worden gesteld. Dus, Merk op dat de massa van de satelliet aan beide kanten van de vergelijking aanwezig is; dus kan het worden geannuleerd door te delen doorMza. Dan kunnen beide zijden van de vergelijking worden vermenigvuldigd metR, waardoor de volgende vergelijking overblijft. Door de vierkantswortel van elke zijde te nemen, blijft de volgende vergelijking over voor de snelheid van een satelliet die in cirkelvormige beweging rond een centraal lichaam beweegt waarGbedraagt 6,673 x 10-11N•m2/kg2,Mcentraalis de massa van het centrale lichaam waaromheen de satelliet draait, enRis de straal van de baan van de satelliet. Een soortgelijke redenering kan worden gebruikt om een vergelijking te bepalen voor de versnelling van onze satelliet die wordt uitgedrukt in termen van massa's en straal van de baan. De versnellingswaarde van een satelliet is gelijk aan de versnelling van de zwaartekracht van de satelliet op de plaats waar hij in een baan om de aarde draait. InLes 3, werd de vergelijking voor de versnelling van de zwaartekracht gegeven als De versnelling van een satelliet in cirkelvormige beweging rond een centraal lichaam wordt dus gegeven door de volgende vergelijking waarGbedraagt 6,673 x 10-11N•m2/kg2,Mcentraalis de massa van het centrale lichaam waaromheen de satelliet draait, enRis de gemiddelde straal van de baan van de satelliet. De laatste vergelijking die nuttig is bij het beschrijven van de beweging van satellieten is Newtons vorm van de derde wet van Kepler. Omdat de logica achter de ontwikkeling van de vergelijking is gepresenteerdergens anders, wordt hier alleen de vergelijking gepresenteerd. De periode van een satelliet (T) en de gemiddelde afstand tot het centrale lichaam (R) zijn gerelateerd door de volgende vergelijking:Orbitale snelheidsvergelijking
De versnellingsvergelijking
Vergelijking van de omlooptijd
waarTis de periode van de satelliet,Ris de gemiddelde straal van de baan van de satelliet (afstand vanaf het centrum van de centrale planeet), enGbedraagt 6,673 x 10-11N•m2/kg2.
Er is een belangrijk concept duidelijk in alle drie deze vergelijkingen - de periode, snelheid en versnelling van een in een baan om de aarde draaiende satelliet zijn niet afhankelijk van de massa van de satelliet.
Geen van deze drie vergelijkingen heeft de variabeleMsatellietin hen. De periode, snelheid en versnelling van een satelliet zijn alleen afhankelijk van de straal van de baan en de massa van het centrale lichaam waar de satelliet om draait. Net als bij de beweging van projectielen op aarde, heeft de massa van het projectiel op geen enkel moment invloed op de versnelling naar de aarde en de snelheid. Wanneer de luchtweerstand verwaarloosbaar is en alleen zwaartekracht aanwezig is, wordt de massa van het bewegende object een non-factor. Dat is het geval met satellieten in een baan om de aarde.
Voorbeeld problemen
Overweeg de volgende oefenproblemen om het nut van de bovenstaande vergelijkingen te illustreren.
Een satelliet wil in een baan om de aarde draaien op een hoogte van 100 km (ongeveer 60 mijl) boven het aardoppervlak. Bepaal de snelheid, versnelling en omlooptijd van de satelliet. (Gegeven: Maarde= 5,98 × 1024kg, raarde= 6,37 x 106M)
Zoals de meeste problemen in de natuurkunde, begint dit probleem met het identificeren van bekende en onbekende informatie en het selecteren van de juiste vergelijking die het onbekende kan oplossen. Voor dit probleem worden de bekende en onbekende factoren hieronder weergegeven.
R = Raarde+ hoogte = 6,47 x 106M Maarde= 5,98x1024kg G = 6,673 × 10-11Nm2/kg2 | v = ??? een = ??? T = ??? |
Merk op dat de straal van de baan van een satelliet kan worden gevonden uit de kennis van de straal van de aarde en de hoogte van de satelliet boven de aarde. Zoals te zien is in het diagram rechts, is de straal van de baan van een satelliet gelijk aan de som van de straal van de aarde en de hoogte boven de aarde. Deze twee grootheden kunnen worden opgeteld om de orbitale straal te verkrijgen. In dit probleem moet de 100 km eerst worden omgezet in 100.000 m voordat deze wordt toegevoegd aan de straal van de aarde. De vergelijkingen die nodig zijn om het onbekende te bepalen, worden vermeldboven. We beginnen met het bepalen van de omloopsnelheid van de satelliet met behulp van de volgende vergelijking:
De vervanging en oplossing zijn als volgt:
v = 7,85 x 103Mevr
De versnelling kan worden gevonden uit een van de volgende vergelijkingen:
Vergelijking (1) werd afgeleidboven. Vergelijking (2) is eenalgemene vergelijking voor cirkelvormige beweging. Beide vergelijkingen kunnen worden gebruikt om de versnelling te berekenen. Het gebruik van vergelijking (1) zal hier worden gedemonstreerd.
een = (6.673 x 10-11Nm2/kg2) • (5,98 x 1024kg) / (6,47 x 106M)2
a = 9,53 m/sec2
Merk op dat deze versnelling iets minder is dan de 9,8 m/s2waarde verwacht op het aardoppervlak.Zoals besproken in les 3, de grotere afstand tot het middelpunt van de aarde verlaagt de waarde van g.
Ten slotte kan de periode worden berekend met behulp van de volgende vergelijking:
De vergelijking kan worden herschikt naar de volgende vorm
De vervanging en oplossing zijn als volgt:
T = 5176 s = 1.44 uur
De periode van de maan is ongeveer 27,2 dagen (2,35 x 106S). Bepaal de straal van de baan van de maan en de omloopsnelheid van de maan. (Gegeven: Maarde= 5,98 × 1024kg, raarde= 6,37 x 106M)
Net als oefenprobleem #2 begint dit probleem met het identificeren van bekende en onbekende waarden. Deze zijn hieronder weergegeven.
T = 2,35 x 106S Maarde= 5,98 × 1024kg G = 6,673 × 10-11Nm2/kg2 | R = ??? v = ??? |
De straal van de baan kan worden berekend met behulp van de volgende vergelijking:
De vergelijking kan worden herschikt naar de volgende vorm
De vervanging en oplossing zijn als volgt:
R3= 5,58 × 1025M3
Door de derdemachtswortel van 5,58 x 10 te nemen25M3, kan de straal als volgt worden bepaald:
De omloopsnelheid van de satelliet kan worden berekend uit een van de volgende vergelijkingen:
Vergelijking (1) werd afgeleidboven. Vergelijking (2) is eenalgemene vergelijking voor cirkelvormige beweging. Beide vergelijkingen kunnen worden gebruikt om de omloopsnelheid te berekenen; het gebruik van vergelijking (1) zal hier worden gedemonstreerd. De vervanging van waarden in deze vergelijking en oplossing is als volgt:
v = 1,02 × 103Mevr
Een geosynchrone satelliet is een satelliet die in een baan om de aarde draait met een omlooptijd van 24 uur, en dus overeenkomt met de periode van de rotatiebeweging van de aarde. Een speciale klasse van geosynchrone satellieten is een geostationaire satelliet. Een geostationaire satelliet draait in 24 uur in een baan om de aarde langs een baan die parallel loopt aan een denkbeeldig vlak dat door de evenaar van de aarde wordt getrokken. Zo'n satelliet lijkt permanent gefixeerd boven dezelfde locatie op aarde. Als een geostationaire satelliet in 24 uur (86400 s) in een baan om de aarde wil draaien, hoe hoog moet hij dan boven het aardoppervlak zijn? (Gegeven: Maarde= 5,98x1024kg, raarde= 6,37 x 106M)
Net als bij het vorige probleem begint de oplossing met de identificatie van de bekende en onbekende waarden. Dit is hieronder weergegeven.
T = 86400 s Maarde= 5,98x1024kg Raarde= 6,37 x 106M G = 6,673 × 10-11Nm2/kg2 | u = ??? |
Het onbekende in dit probleemis de hoogte (H) van de satelliet boven het aardoppervlak. Toch is er geen vergelijking met de variabeleH. De oplossing bestaat dan uit het eerst vinden van de straal van de baan en het gebruik van deze R-waarde en de R van de aarde om de hoogte van de satelliet boven de aarde te vinden. Zoals te zien is in het diagram rechts, is de straal van de baan van een satelliet gelijk aan de som van de straal van de aarde en de hoogte boven de aarde. De straal van de baan kan worden gevonden met behulp van de volgende vergelijking:
De vergelijking kan worden herschikt naar de volgende vorm
De vervanging en oplossing zijn als volgt:
R3= 7,54 × 1022M3
Door de derdemachtswortel van 7,54 x 10 te nemen22M3, kan de straal worden bepaald
De straal van de baan geeft de afstand aan van de satelliet tot het middelpunt van de aarde. Nu de straal van de baan is gevonden, kan de hoogte boven de aarde worden berekend. Aangezien het aardoppervlak 6,37 x 10 is6m vanaf het middelpunt (dat is de straal van de aarde), moet de satelliet een hoogte hebben van
boven het aardoppervlak. Dus de hoogte van de satelliet is3,59 x 107M.
Controleer uw begrip
1. Een satelliet draait om de aarde. Welke van de volgende variabelen zal de snelheid van de satelliet beïnvloeden?
A. massa van de satellietB. hoogte boven het aardoppervlak
C. massa van de aarde
Zie antwoord Antwoord:b en c Zoals te zien is in de vergelijking v = WORTEL(G * Mcentraal/ R), de massa van het centrale lichaam (aarde) en de straal van de baan beïnvloeden de omloopsnelheid. De straal van de baan is op zijn beurt afhankelijk van de hoogte van de satelliet boven de aarde.
2. Gebruik de onderstaande informatie en de bovenstaande relatie om de T te berekenen2/R3verhouding voor de planeten rond de zon, de maan rond de aarde en de manen van Saturnus rond de planeet Saturnus. De waarde van G is 6,673 x 10-11N•m2/kg2.
A. T2/R3voor planeten rond de zonB. T2/R3voor de maan rond de aarde
C. T2/R3voor manen rond Saturnus
Zie antwoord Gebruik voor elk geval de vergelijking T2/ R3= 4*pi2/ (G*Mcentraal). A. zon T2/ R3= 2,96*10-19 B. Aarde T2/ R3= 9,86*10-14 C. Saturnus T2/ R3= 1,04*10-15 (Alle antwoorden in eenheden van s2/ M3.)
3. Een van de manen van Saturnus heet Mimas. De gemiddelde omloopafstand van Mimas is 1,87 x 108M. De gemiddelde omlooptijd van Mimas is ongeveer 23 uur (8.28x104S). Gebruik deze informatie om een massa voor de planeet Saturnus te schatten.
Zie antwoord Met behulp van de gegeven T- en R-waarden kan de T2/ R3verhouding is 1,05 x 10-15. Deze verhouding is gelijk aan 4*pi2/G*Mcentraal. Met behulp van de G-waarde en de berekende verhouding kan de massa van Saturnus worden gevonden als 5,64 x 1026kg.
4. Beschouw een satelliet die zich in eenlaagbaan rond de aarde op een hoogte van 220 km boven het aardoppervlak. Bepaal de omloopsnelheid van deze satelliet. Gebruik onderstaande gegevens.
Maarde= 5,98 × 1024kg
Raarde= 6,37 x 106M
Zie antwoord De omloopsnelheid kan worden gevonden met v = SQRT(G*M/R). De R-waarde (straal van de baan) is de straal van de aarde plus de hoogte boven de aarde - in dit geval 6,59 x 106M. Vervangen en oplossen levert een snelheid op van7780 m/sec.
5. Stel dat de Space Shuttle in een baan om de aarde draait op 400 km boven het aardoppervlak. Gebruik de informatie in de vorige vraag om de omloopsnelheid en de omlooptijd van de Space Shuttle te bepalen.
Zie antwoord De omloopsnelheid kan worden gevonden met v = SQRT(G*M/R). De R-waarde (straal van de baan) is de straal van de aarde plus de hoogte boven de aarde - in dit geval 6,77 x 106M. Vervangen en oplossen levert een snelheid op van7676 meter per seconde.
Volgende sectie: